PERSAMAAN TRIGONOMETRI

 

Pengertian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui nilainya. Pada prinsipnya, persamaan trigonometri sama dengan persamaan linear atau kuadrat. Hal yang membedakan adalah himpunan penyelesaian pada persamaan trigonometri berupa besaran sudut.

Jenis Persamaan Trigonometri

Saat belajar trigonometri, kamu sudah dikenalkan dengan istilah sinus, cosinus, dan tangen, kan? Oleh karena itu, persamaan trigonometri juga memuat ketiga komponen tersebut.

1. Persamaan sinus

Untuk menyelesaikan permasalahan trigonometri, mungkin kamu akan menemukan nilai sudut yang lebih dari satu. Hal itu karena grafik fungsi trigonometri memuat nilai yang sama di beberapa sudut. Contohnya persamaan y = sin x, untuk -360^o≤ x ≤ 360^o. Jika digambarkan dalam bentuk grafik, persamaan y = sin x, untuk -360^o≤ x ≤ 360^o, akan menjadi seperti berikut.

Grafik di atas menunjukkan bahwa nilai x untuk sin x = 1 ada dua, yaitu -270^o dan 90^o. Nilai utama yang harus dilihat adalah nilai sin x di area bergaris biru, tepatnya di interval -90^o≤ x ≤ 90^o. Lantas, bagaimana dengan nilai lainnya? Nilai lainnya bisa kamu tentukan berdasarkan gambar. Nilai x yang lebih dari 360^o atau kurang dari -360^o, dapat diketahui dengan persamaan berikut.

Untuk k merupakan konstanta bilangan bulat. Agar lebih paham, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Pembahasan:

Perhatikan bahwa

Untuk x = 150^o + k . 360^o:

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = {-330^o, -210^o, 30^o, 150^o, 390^o, 510^o}.

2. Persamaan Cosinus

Persamaan trigonometri untuk cosinus bisa kamu lihat dari grafik berikut.

Nilai utama yang harus kamu lihat adalah nilai pada garis biru, tepatnya pada interval 0^o≤ x ≤ 180^o. Untuk nilai cosinus yang lain, bisa Quipperian lihat di gambar lainnya. Nilai x yang lebih besar dari 360o atau kurang dari 360^o, bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut.

k merupakan konstanta bilangan bulat. Agar lebih paham, simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 2

Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut untuk interval -120^o≤ x ≤ 450^o.

Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x = {-45^o, 45^o, 315^o, 405^o}.

3. Persamaan Tangen

Persamaan tangen adalah persamaan trigonometri yang memuat fungsi tangen. Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik y = tan x untuk -360^o≤ x ≤ 360^o berikut.

Nilai utama yang harus dilihat adalah nilai tan x  bergaris biru, tepatnya pada interval -90^o≤ x ≤ 90^o. Jika diperhatikan, nilai tersebut akan berulang untuk x positif dan negatif. Untuk nilai lainnya bisa kamu tentukan dengan persamaan berikut.

Untuk k merupakan konstanta bilangan bulat. Agar kamu lebih paham, simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 3

Pembahasan:

Perhatikan bahwa:

Menyelesaikan Masalah Sehari-Hari terkait dengan Persamaan Trigonometri

Ternyata, banyak masalah sehari-hari yang bisa diselesaikan dengan persamaan trigonometri. Dua diantaranya adalah fungsi periodik gelombang cahaya dan bunyi. Bagaimana penyelesaiannya? Simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 4

Secara umum, persamaan gerak partikel dinyatakan sebagai berikut.

S = A cos (ωt), t ≥ 0

S merupakan simpangan gerak, A merupakan amplitudo, ω merupakan kecepatan sudut, dan t merupakan waktu. Jika suatu partikel bergerak dengan nilai simpangan 1 satuan, amplitudo √2 satuan, dan pergerakan terjadi saat t ≠ 0, nyatakan nilai ω dalam variabel t!

Pembahasan:

Diketahui persamaan gerak partikel secara umum adalah sebagai berikut.

S = A cos (ωt), t ≥ 0

Oleh karena pergerakan tersebut terjadi saat t ≠ 0, maka:

S = A cos (ωt), t > 0

Oleh karena simpangan 1 satuan dan amplitudo √2 satuan, maka:

Ini berarti: